Quantitative Aptitude (अंकगणित)
Polynomials
पडताळलेले उत्तर (Verified)
MPSC सराव प्रश्न:
जर a² + 12x − 13 या बहुपदीचा (x + 3) हा एक अवयव असेल, तर a चे मूल्य कोणते?
If (x + 3) is a factor of the polynomial a² + 12x − 13, which of the following values of a satisfies the condition?
पर्याय (Options):
A
8
B
अचूक उत्तर (Official Answer)
7
C
6
D
5
सविस्तर स्पष्टीकरण (Detailed Explanation):
अचूक उत्तर: पर्याय (2)
१. दिलेली माहिती व आवश्यक सूत्र: दिलेले बहुपद f(x) = a² + 12x − 13 आहे आणि (x + 3) हा त्याचा अवयव आहे. अवयव प्रमेयानुसार, (x − α) हा बहुपदीचा अवयव असल्यास f(α) = 0 असते. येथे x + 3 = x − (−3), म्हणून f(−3) = 0.
२. पायरी-दर-पायरी गणितीय मांडणी:
f(−3) = 0
⇒ a² + 12(−3) − 13 = 0
⇒ a² − 36 − 13 = 0
⇒ a² − 49 = 0
⇒ a² = 49
⇒ a = ±7.
दिलेल्या पर्यायांमध्ये 7 हा पर्याय उपलब्ध आहे. त्यामुळे योग्य उत्तर पर्याय 2 आहे. गणितीयदृष्ट्या a = −7 हेही समीकरण पूर्ण करते; मात्र ते दिलेल्या पर्यायांमध्ये नाही.
३. शॉर्टकट पद्धत: x = −3 थेट दिलेल्या बहुपदीत ठेवा. त्यामुळे a² − 36 − 13 = 0, म्हणजे a² = 49. म्हणून a = ±7. पर्यायांमध्ये −7 नसल्याने 7 निवडा.
परीक्षेतील संभाव्य चूक / Exam Trap:
मुख्य चूक म्हणजे a² = 49 वरून फक्त a = 7 असे लिहिणे. वर्गमूळ घेताना a = ±7 ही दोन्ही गणितीय उत्तरे लक्षात घ्यावीत. तसेच (x + 3) या अवयवासाठी x = 3 नव्हे, तर x = −3 ठेवायचे असते.
स्मृती क्लृप्ती / Memory Booster & Mnemonic:
अवयव प्रमेय: (x − α) हा f(x) चा अवयव असल्यास f(α) = 0. त्यामुळे (x + k) हा अवयव असल्यास x = −k ठेवावे. तसेच a² = b² असल्यास a = ±b.
पर्याय निर्मूलन पद्धत / Option Elimination Strategy:
पर्याय 1: 8 घेतल्यास a² = 64 होते, जे आवश्यक a² = 49 शी जुळत नाही. पर्याय 3: 6 घेतल्यास a² = 36 होते; त्यामुळे बहुपदीचे मूल्य f(−3) = 36 − 49 = −13 येते, शून्य येत नाही. पर्याय 4: 5 घेतल्यास a² = 25 होते; त्यामुळे f(−3) = 25 − 49 = −24 येते, शून्य येत नाही. पर्याय 2: 7 घेतल्यास a² = 49 मिळते आणि f(−3) = 49 − 36 − 13 = 0 होते. त्यामुळे हा पर्याय योग्य आहे.