सविस्तर स्पष्टीकरण (Detailed Explanation):
अचूक उत्तर: पर्याय (2)
१. दिलेली माहिती व आवश्यक सूत्र: पाईप A टाकी 12 मिनिटांत भरतो, B 24 मिनिटांत भरतो आणि C 32 मिनिटांत रिकामी करतो. टाकीची एकूण क्षमता 12, 24 आणि 32 यांचा लसावि म्हणजे 96 एकक मानू. त्यामुळे A ची कार्यक्षमता = 96 ÷ 12 = 8 एकक/मिनिट, B ची कार्यक्षमता = 96 ÷ 24 = 4 एकक/मिनिट आणि C ची कार्यक्षमता = −96 ÷ 32 = −3 एकक/मिनिट. येथे ऋण चिन्ह टाकी रिकामी होण्याचे दर्शवते.
२. पायरी-दर-पायरी गणितीय मांडणी: टाी भरण्यास लागणारा एकूण वेळ T मिनिटे मानू. A आणि B हे दोन्ही पाईप संपूर्ण T मिनिटे सुरू असतात; परंतु C हा पाईप शेवटच्या 2 मिनिटांसाठी बंद असल्याने तो (T − 2) मिनिटे सुरू असतो. म्हणून एकूण भरलेले पाणी = 8T + 4T − 3(T − 2). टाकीची क्षमता 96 एकक असल्याने, 8T + 4T − 3(T − 2) = 96. म्हणून 12T − 3T + 6 = 96; 9T + 6 = 96; 9T = 90; T = 90 ÷ 9 = 10 मिनिटे. त्यामुळे टाकी 10 मिनिटांत पूर्ण भरेल.
३. शॉर्टकट / स्मार्ट पद्धत: तिन्ही पाईप एकत्र सुरू असताना निव्वळ कार्यक्षमता = 8 + 4 − 3 = 9 एकक/मिनिट. C हा शेवटच्या 2 मिनिटांत बंद असल्यामुळे त्या काळात तो 3 × 2 = 6 एकक पाणी रिकामे करत नाही. म्हणून समीकरण 9T + 6 = 96. त्यावरून T = (96 − 6) ÷ 9 = 10 मिनिटे. लक्षात ठेवा: C बंद केल्यामुळे 6 एकक पाण्याची अतिरिक्त बचत होते; म्हणून ही रक्कम निव्वळ कार्यक्षमतेच्या गणनेत योग्य चिन्हासह विचारात घ्यावी.
1. Given Data and Formula: Pipe A fills the tank in 12 minutes, pipe B in 24 minutes, and pipe C empties it in 32 minutes. Assume the tank's capacity is the LCM of 12, 24, and 32, which is 96 units. Therefore, A's filling rate = 96 ÷ 12 = 8 units/minute; B's filling rate = 96 ÷ 24 = 4 units/minute; and C's emptying rate = −96 ÷ 32 = −3 units/minute. The negative sign indicates that C removes water from the tank.
2. Step-by-Step Calculation: Let the total filling time be T minutes. Pipes A and B operate for the entire T minutes, while pipe C operates for only (T − 2) minutes. Hence, the total work equation is 8T + 4T − 3(T − 2) = 96. Expanding gives 8T + 4T − 3T + 6 = 96. Therefore, 9T + 6 = 96; 9T = 90; T = 90 ÷ 9 = 10 minutes. Thus, the tank becomes full in 10 minutes.
3. Shortcut / Speed-Math: The combined net rate of all three pipes while they are open is 8 + 4 − 3 = 9 units/minute. Since pipe C is shut off 2 minutes before completion, it does not remove 3 × 2 = 6 units during those final minutes. Therefore, 9T + 6 = 96, giving T = (96 − 6) ÷ 9 = 10 minutes. The 6 units are an additional saving in water, not an amount that should be subtracted from the tank's capacity.
मुख्य सापळा म्हणजे पाईप C ला धन कार्यक्षमता देणे किंवा तो शेवटच्या 2 मिनिटांत बंद असतो हे विसरणे. C ची कार्यक्षमता −3 एकक/मिनिट आहे. त्यामुळे तो 2 मिनिटे आधी बंद केल्याने 6 एकक पाणी वाचते. हे 6 एकक टाकीच्या क्षमतेतून वजा करायचे नसून, तिन्ही पाईपांची निव्वळ कार्यक्षमता वापरून मांडलेल्या समीकरणात अतिरिक्त भर म्हणून विचारात घ्यायचे. दुसरी चूक म्हणजे T − 2 ऐवजी C चा कार्यकाल T मानणे.
The main traps are assigning a positive rate to the emptying pipe or forgetting that pipe C is closed during the final 2 minutes. Pipe C's rate is −3 units/minute. Closing it early saves 3 × 2 = 6 units of water. When using the combined net rate for the entire time T, this saving must be added to the amount accounted for by that rate. Do not incorrectly use T as pipe C's operating time; its actual operating time is T − 2.
पाईप आणि टाकीचे मूलभूत सूत्र: कार्य = कार्यक्षमता × वेळ. भरणाऱ्या पाईपची कार्यक्षमता धन आणि रिकामी करणाऱ्या पाईपची कार्यक्षमता ऋण असते. जर रिकामी करणारा पाईप टाकी भरण्याच्या x मिनिटे आधी बंद केला, तर एकूण वेळ T असताना त्याचा कार्यकाल T − x असतो. या प्रश्नासाठी सूत्र: (A ची कार्यक्षमता + B ची कार्यक्षमता) × T − C ची रिकामी करण्याची कार्यक्षमता × (T − 2) = टाकीची क्षमता.
Core formula: Work = Rate × Time. Filling rates are positive, while emptying rates are negative. If an emptying pipe is shut off x minutes before the tank is full, and the total filling time is T, that pipe operates for T − x minutes. The governing equation is: (combined filling rate − emptying rate magnitude) × T + water saved by early closure = tank capacity.
पर्याय 1: 9 मिनिटे चुकीची आहेत. या वेळेत टाकीत भरलेले निव्वळ पाणी = 9 × 9 + 6 = 87 एकक होते, जे 96 एककांपेक्षा कमी आहे.
पर्याय 3: 12 मिनिटे चुकीची आहेत. या वेळेत निव्वळ भरलेले पाणी = 9 × 12 + 6 = 114 एकक होते. टाकी त्याआधीच भरलेली असेल.
पर्याय 4: 8 मिनिटे चुकीची आहेत. या वेळेत निव्वळ भरलेले पाणी = 9 × 8 + 6 = 78 एकक होते, त्यामुळे टाकी पूर्ण भरत नाही.
पर्याय 2: 10 मिनिटे योग्य आहेत, कारण 9 × 10 + 6 = 96 एकक, म्हणजे टाकीची पूर्ण क्षमता.
Option 1: 9 minutes is incorrect. The net amount filled by that time would be 9 × 9 + 6 = 87 units, which is less than the required 96 units.
Option 3: 12 minutes is incorrect. The corresponding net amount would be 9 × 12 + 6 = 114 units, so the tank would have filled earlier.
Option 4: 8 minutes is incorrect. The corresponding net amount would be 9 × 8 + 6 = 78 units, which is insufficient to fill the tank.
Option 2: 10 minutes is correct because 9 × 10 + 6 = 96 units, exactly the tank's capacity.
