सविस्तर स्पष्टीकरण (Detailed Explanation):
अचूक उत्तर: पर्याय (2)
१. दिलेली माहिती व आवश्यक सूत्र:
२ वर्षांनंतरची मिश्र रक्कम (A₂) = ₹११,५२०
३ वर्षांनंतरची मिश्र रक्कम (A₃) = ₹१३,८२४
मुद्दल = P आणि वार्षिक व्याजदर = r% असे मानू.
चक्रवाढ व्याजाचे सूत्र: A = P(1 + r/100)ⁿ.
२. पायरी-दर-पायरी गणितीय मांडणी:
पायरी १: सलग दोन वर्षांच्या मिश्र रकमांचे गुणोत्तर काढू.
A₃/A₂ = १३,८२४/११,५२० = १.२
म्हणून (1 + r/100) = १.२. म्हणजेच वार्षिक वृद्धिगुणक १.२ आहे आणि व्याजदर २०% आहे.
पायरी २: दोन वर्षांच्या मिश्र रकमेच्या सूत्रात हे मूल्य ठेवू.
११,५२० = P × (१.२)²
११,५२० = P × १.४४
P = ११,५२०/१.४४
P = ८,००० रुपये.
म्हणून योग्य उत्तर पर्याय २ आहे.
३. शॉर्टकट / स्मार्ट पद्धत:
३ वर्षांची रक्कम ÷ २ वर्षांची रक्कम = १३,८२४ ÷ ११,५२० = १.२. हा एका वर्षाचा वृद्धिगुणक आहे. त्यामुळे मुद्दल = ११,५२० ÷ (१.२ × १.२) = ११,५२० ÷ १.४४ = ₹८,०००.
1. Given Data and Formula:
Amount after 2 years (A₂) = ₹11,520.
Amount after 3 years (A₃) = ₹13,824.
Let the principal be P and the annual interest rate be r%.
Compound amount formula: A = P(1 + r/100)ⁿ.
2. Step-by-Step Calculation:
Step 1: Divide the amount after 3 years by the amount after 2 years.
A₃/A₂ = 13,824/11,520 = 1.2.
Therefore, (1 + r/100) = 1.2. The annual growth factor is 1.2, corresponding to an interest rate of 20%.
Step 2: Substitute this factor into the 2-year amount equation.
11,520 = P × (1.2)²
11,520 = P × 1.44
P = 11,520/1.44
P = ₹8,000.
Hence, option 2 is correct.
3. Shortcut / Speed-Math:
The ratio of the 3-year amount to the 2-year amount gives the one-year growth factor: 13,824 ÷ 11,520 = 1.2. Therefore, Principal = 11,520 ÷ (1.2 × 1.2) = 11,520 ÷ 1.44 = ₹8,000.
३ वर्षांची रक्कम आणि २ वर्षांची रक्कम यांचे भागाकार केल्यावर मिळणारे १.२ हे मुद्दल किंवा व्याजदर नसून एका वर्षाचा वृद्धिगुणक आहे. त्याचा अर्थ व्याजदर २०% असा होतो. मुद्दल काढताना १.२ ने फक्त एकदा भाग देण्याऐवजी दोन वर्षांच्या मिश्र रकमेसाठी (१.२)² = १.४४ ने भाग द्यावा. साध्या व्याजाचे सूत्र वापरणे हीदेखील संभाव्य चूक आहे.
The quotient 13,824 ÷ 11,520 = 1.2 is the annual growth factor, not the principal or the interest rate. The corresponding annual interest rate is 20%. To recover the principal from the 2-year amount, divide by (1.2)² = 1.44, not by 1.2 alone. Using the simple-interest formula instead of the compound-interest formula is another common mistake.
वार्षिक चक्रवाढ व्याजात सलग वर्षांच्या मिश्र रकमांचे गुणोत्तर = १ + r/100. त्यामुळे मुद्दल P = n वर्षांनंतरची मिश्र रक्कम A ÷ (१ + r/100)ⁿ. या प्रश्नात P = ११,५२० ÷ (१.२)² = ₹८,०००.
For annual compounding, the ratio of consecutive yearly amounts is 1 + r/100. The principal is P = Aₙ ÷ (1 + r/100)ⁿ. Here, P = 11,520 ÷ (1.2)² = ₹8,000.
पर्याय १: ₹६,००० चुकीचे. या मुद्दलावर २ वर्षांची मिश्र रक्कम ₹६,००० × १.४४ = ₹८,६४० येते, जी दिलेल्या ₹११,५२० पेक्षा कमी आहे.
पर्याय ३: ₹९,००० चुकीचे. या मुद्दलावर २ वर्षांची मिश्र रक्कम ₹९,००० × १.४४ = ₹१२,९६० येते, जी दिलेल्या रकमेशी जुळत नाही.
पर्याय ४: ₹७,००० चुकीचे. या मुद्दलावर २ वर्षांची मिश्र रक्कम ₹७,००० × १.४४ = ₹१०,०८० येते, जी दिलेल्या रकमेशी जुळत नाही.
फक्त पर्याय २ मधील ₹८,००० या मुद्दलावर ₹८,००० × १.४४ = ₹११,५२० आणि ₹८,००० × १.७२८ = ₹१३,८२४ या दोन्ही मिश्र रकमा अचूक मिळतात.
Option 1: ₹6,000 is incorrect. Its amount after 2 years would be ₹6,000 × 1.44 = ₹8,640, not ₹11,520.
Option 3: ₹9,000 is incorrect. Its amount after 2 years would be ₹9,000 × 1.44 = ₹12,960, not ₹11,520.
Option 4: ₹7,000 is incorrect. Its amount after 2 years would be ₹7,000 × 1.44 = ₹10,080, not ₹11,520.
Option 2: ₹8,000 satisfies both conditions: ₹8,000 × 1.44 = ₹11,520 after 2 years and ₹8,000 × 1.728 = ₹13,824 after 3 years.
